Integrales combinadas

Métodos de integración; integración por sustitución y partes

∫(x2+3)sin(5x)dx=

Notamos que el integrando está formado por un producto entre funciones: una polinómica y otra trigonométrica. Entonces, aplicamos el método de integración por partes:

∫f(x)⋅g′(x)dx=(f(x)⋅g(x))−∫(f′(x)⋅g(x))dx

Definimos qué función es f(x) y cuál es g′(x) , respectivamente:

f(x)=x2+3⇒f′(x)=2x

g′(x)=sin(5x)⇒g(x)=∫sin(5x)dx→Notamos que hay que integrar una función compuesta. Aplicamos el método de sustitución para encontrar nuestra función g(x):

u=5x→dxdu​=u′⇒dxdu​=5⇒du=5dx⇒5du​=dx​

∫sin(u)5du​=∫sin(u)51​du⇒51​∫sin(u)du=51​(−cos(u))+C

Entonces:∫sin(5x)dx=−51​cos(5x)+C

g(x)=−51​cos(5x)

Reemplazando, obtenemos la "primera parte" de nuestra respuesta:

∫(x2+3)(sin(5x))dx=(x2+3)(−51​cos(5x))−∫(2x)(−51​cos(5x))dx

∫(2x)(−51​cos(5x))dx=∫−52​xcos(5x)dx

Notamos que debemos resolver otra integral, otra vez con un integrando formado por un producto de funciones. Aplicamos nuevamente el método de integración por partes:

∫−52​xcos(5x)dx⇒f(x)=−52​x⇒f′(x)=−52​g′(x)=cos(5x)​

g(x)=∫cos(5x)dx→Notamos que hay que integrar otra función compuesta. Aplicamos el método de sustitución nuevamente:

u=5x→dxdu​=5⇒du=5dx⇒5du​=dx​

∫cos(u)5du​=∫cos(u)51​du⇒51​∫cos(u)du=51​sin(u)+C

Entonces:∫cos(5x)dx=51​sin(5x)+C​

g(x)=51​sin(5x)

Reemplazando, obtenemos la "segunda parte" de nuestra respuesta:

∫−52​xcos(5x)dx=(−52​x)(51​sin(5x))−∫(−52​)(51​sin(5x))dx∫−52​xcos(5x)dx=(−52​x)(51​sin(5x))−∫(−252​)(sin(5x))dx∫−52​xcos(5x)dx=(−52​x)(51​sin(5x))+252​∫sin(5x)dx​

Analizando bien, vemos que previamente llegamos a que ∫sin(5x)dx=−51​cos(5x). Entonces:

∫−52​xcos(5x)dx=(−52​x)(51​sin(5x))+252​(−51​cos(5x))

Reemplazando en la "primera parte" de nuestra respuesta, obtenemos la resolución final:

∫(x2+3)(sin(5x))dx=(x2+3)(−51​cos(5x))−[(−52​x)(51​sin(5x))+((252​(−51​))cos(5x))]+C∫(x2+3)(sin(5x))dx=(x2+3)(−51​cos(5x))−[(−52​x)(51​sin(5x))−1252​cos(5x)]+C​