Ontological Proof by Gödel

𝔒𝔫𝔱𝔬𝔩𝔬𝔤𝔦𝔠𝔞𝔩 𝔓𝔯𝔬𝔬𝔣

(*𝟏𝟗𝟕𝟎)

𝓕𝓮𝓫. 𝟏𝟎, 𝟏𝟗𝟕𝟎

𝑃(𝝋) 𝝋 𝒊𝒔 𝒑𝑜𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝑒 (𝑜𝒓 𝝋 ∈ 𝑃)

𝐴𝒙𝒊𝑜𝒎 𝟏. 𝑃(𝝋).𝑃(𝝍) ⊃ 𝑃(𝝋.𝝍)¹

𝐴𝒙𝒊𝑜𝒎 𝟐. 𝑃(𝝋) ∨ 𝑃(∼𝝋)²

𝐷𝑒𝑓𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝑜𝒏 𝟏. 𝐺(𝒙) ≡ (𝝋)𝑃(𝝋) ⊃ 𝝋(𝒙)

𝐷𝑒𝑓𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝑜𝒏 𝟐. 𝝋 𝐸𝒔𝒔 𝒙 ≡ (𝝍)[𝝍 (𝒙) ⊃ 𝑁(𝒚) [𝝋(𝒚) ⊃ 𝝍(𝒚)]]. 𝐸𝒔𝒔𝑒𝒏𝑐𝑒 𝑜𝑓 𝒙.³

𝒑 ⊃ ₙ 𝒒 = 𝑁(𝒑 ⊃ 𝒒). 𝑁𝑒𝑐𝑒𝒔𝒔𝒊𝒕𝒚

𝐴𝒙𝒊𝑜𝒎 𝟑. 𝑃(𝝋) ⊃ 𝑁𝑃(𝝋)

∼𝑃(𝝋) ⊃ 𝑁∼𝑃(𝝋)

𝑏𝑒𝑐𝑎𝒖𝒔𝑒 𝒊𝒕 𝑓𝑜𝒍𝒍𝑜𝒘𝒔 𝑓𝒓𝑜𝒎 𝒕𝒉𝑒 𝒏𝑎𝒕𝒖𝒓𝑒 𝑜𝑓 𝒕𝒉𝑒 𝒑𝒓𝑜𝒑𝑒𝒓𝒕𝒚.ᵃ

𝑇𝒉𝑒𝑜𝒓𝑒𝒎. 𝐺(𝒙) ⊃ 𝐺 𝐸𝒔𝒔 𝒙.

𝐷𝑒𝑓𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝑜𝒏 𝟑. 𝐸 ≡ 𝒙 (𝝋)[𝝋 𝐸𝒔𝒔 𝒙 ⊃ 𝑁 (∃𝒙)𝝋(𝒙)]. 𝑁𝑒𝑐𝑒𝒔𝒔𝑎𝒓𝒚 𝐸𝒙𝒊𝒔𝒕𝑒𝒏𝑐𝑒.

𝐴𝒙𝒊𝑜𝒎 𝟒. 𝑃(𝐸).

𝑇𝒉𝑒𝑜𝒓𝑒𝒎. 𝐺(𝒙) ⊃ 𝑁(∃𝒚) 𝐺(𝒚),

𝒉𝑒𝒏𝑐𝑒 (∃𝒙)𝐺(𝒙) ⊃ 𝑁(∃𝒚)𝐺(𝒚);

𝒉𝑒𝒏𝑐𝑒 𝑀(∃𝒙)𝐺(𝒙) ⊃ 𝑀(∃𝒚)𝐺(𝒚). (𝑀 = 𝑃𝑜𝒔𝒔𝒊𝑏𝒊𝒍𝒊𝒕𝒚)

𝑀(∃𝒙)𝐺(𝒙) ⊃ 𝑁(∃𝒚)𝐺(𝒚).

| 𝑀(∃𝒙)𝐺(𝒙) 𝒎𝑒𝑎𝒏𝒔 𝒕𝒉𝑒 𝒔𝒚𝒔𝒕𝑒𝒎 𝑜𝑓 𝑎𝒍𝒍 𝒑𝑜𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝑒 𝒑𝒓𝑜𝒑𝑒𝒓𝒕𝒊𝑒𝒔 𝒊𝒔 𝑐𝑜𝒎𝒑𝑎𝒕𝒊𝑏𝒍𝑒. ²

𝑇𝒉𝒊𝒔 𝒊𝒔 𝒕𝒓𝒖𝑒 𝑏𝑒𝑐𝑎𝒖𝒔𝑒 𝑜𝑓 ;

𝐴𝒙𝒊𝑜𝒎 𝟓. 𝑃(𝝋).𝝋 ⊃ ₙ 𝝍 ∶⊃ 𝑃(𝝍), 𝑊𝒉𝒊𝑐𝒉 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝑒𝒔

{ 𝒙 = 𝒙 𝒊𝒔 𝒑𝑜𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝑒

{ 𝒙 ≠ 𝒙 𝒊𝒔 𝒏𝑒𝑔𝑎𝒕𝒊𝒗𝑒.

𝐵𝒖𝒕 𝑎 𝒔𝒚𝒔𝒕𝑒𝒎 𝑆 𝑜𝑓 𝒑𝑜𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝑒 𝒑𝒓𝑜𝒑𝑒𝒓𝒕𝒊𝑒𝒔 𝒘𝑒𝒓𝑒 𝒊𝒏𝑐𝑜𝒎𝒑𝑎𝒕𝒊𝑏𝒍𝑒, 𝒊𝒕 𝒘𝑜𝒖𝒍𝑑 𝒎𝑒𝑎𝒏 𝒕𝒉𝑎𝒕 𝒕𝒉𝑒 𝒔𝒖𝒎 𝒑𝒓𝑜𝒑𝑒𝒓𝒕𝒚 𝒔 (𝒘𝒉𝒊𝑐𝒉 𝒊𝒔 𝒑𝑜𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝑒) 𝒘𝑜𝒖𝒍𝑑 𝑏𝑒 𝒙 ≠ 𝒙.

𝑃𝑜𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝑒 𝒎𝑒𝑎𝒏𝒔 𝒑𝑜𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝑒 𝒊𝒏 𝒕𝒉𝑒 𝒎𝑜𝒓𝑎𝒍 𝑎𝑒𝒔𝒕𝒉𝑒𝒕𝒊𝑐 𝒔𝑒𝒏𝒔𝑒 (𝒊𝒏𝑑𝑒𝒑𝑒𝒏𝑑𝑒𝒏𝒕𝒍𝒚 𝑜𝑓 𝒕𝒉𝑒 𝑎𝑐𝑐𝒊𝑑𝑒𝒏𝒕𝑎𝒍 𝒔𝒕𝒓𝒖𝑐𝒕𝒖𝒓𝑒 𝑜𝑓 𝒕𝒉𝑒 𝒘𝑜𝒓𝒍𝑑). 𝑂𝒏𝒍𝒚 𝒕𝒉𝑒𝒏 [𝑎𝒓𝑒] 𝒕𝒉𝑒 𝑎𝒙𝒊𝑜𝒎𝒔 𝒕𝒓𝒖𝑒. 𝐼𝒕 𝒎𝑎𝒚 𝑎𝒍𝒔𝑜 𝒎𝑒𝑎𝒏 𝒑𝒖𝒓𝑒 "𝑎𝒕𝒕𝒓𝒊𝑏𝒖𝒕𝒊𝑜𝒏"⁴ 𝑎𝒔 𝑜𝒑𝒑𝑜𝒔𝑒𝑑 𝒕𝑜 "𝒑𝒓𝒊𝒗𝑎𝒕𝒊𝑜𝒏" (𝑜𝒓 𝑐𝑜𝒏𝒕𝑎𝒊𝒏𝒊𝒏𝑔 𝒑𝒓𝒊𝒗𝑎𝒕𝒊𝑜𝒏). 𝑇𝒉𝒊𝒔 𝐼𝒏𝒕𝑒𝒓𝒑𝒓𝑒𝒕𝑎𝒕𝒊𝑜𝒏 [𝒔𝒖𝒑𝒑𝑜𝒓𝒕𝒔 𝑎] 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝑒𝒓 𝒑𝒓𝑜𝑜𝑓.

𝐼𝑓 𝝋 [𝒊𝒔] 𝒑𝑜𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝑒 𝒕𝒉𝑒𝒏 𝒏𝑜𝒕 ∶ (𝒙)𝑁∼𝝋(𝒙). 𝑂𝒕𝒉𝑒𝒓𝒘𝒊𝒔𝑒 ∶ 𝝋(𝒙) ⊃ ₙ 𝒙 ≠ 𝒙 ; 𝒉𝑒𝒏𝑐𝑒 𝒙 ≠ 𝒙 [𝒊𝒔] 𝒑𝑜𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝑒, 𝒔𝑜 𝒙 = 𝒙 [𝒊𝒔] 𝒏𝑒𝑔𝑎𝒕𝒊𝒗𝑒, 𝑐𝑜𝒏𝒕𝒓𝑎𝒓𝒚 [𝒕𝑜] 𝐴𝒙𝒊𝑜𝒎 𝟓 𝑜𝒓 𝐸𝒙𝒊𝒔𝒕𝑒𝒏𝑐𝑒 𝑜𝑓 𝒑𝑜𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝑒 𝒑𝒓𝑜𝒑𝑒𝒓𝒕𝒊𝑒𝒔.

¹ 𝑨𝒏𝒅 𝒇𝒐𝒓 𝒂𝒏𝒚 𝒏𝒖𝒎𝒃𝒆𝒓 𝒐𝒇 𝒔𝒖𝒎𝒎𝒂𝒏𝒅𝒔.

² 𝑬𝒙𝒄𝒍𝒖𝒔𝒊𝒗𝒆 𝒐𝒓.

³ 𝐴𝒏𝒚 𝒕𝒘𝒐 𝒆𝒔𝒔𝒆𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒐𝒇 𝒙 𝒂𝒓𝒆 𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒔𝒂𝒓𝒊𝒍𝒚 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕.

ᵃ 𝐺𝒐𝒅𝒆𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒃𝒆𝒓𝒆𝒅 𝒕𝒘𝒐 𝒅𝒊𝒇𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕 𝒂𝒙𝒊𝒐𝒎𝒔 𝒘𝒊𝒕𝒉 𝒕𝒉𝑒 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒍 "𝟐". 𝑇𝒉𝒊𝒔 𝐷𝒐𝒖𝒃𝒍𝒆 𝒏𝒖𝒎𝒃𝒆𝒓𝒊𝒏𝒈 𝒘𝒂𝒔 𝒎𝒂𝒊𝒏𝒕𝒂𝒊𝒏𝒆𝒅 𝒊𝒏 𝒕𝒉𝒆 𝒑𝒓𝒊𝒏𝒕𝒆𝒅 𝒗𝒆𝒓𝒔𝒊𝑜𝒏 𝒊𝒏 𝑆𝒐𝒃𝒆𝒍 𝟏𝟗𝟖𝟕. 𝑊𝒆 𝒉𝒂𝒗𝒆 𝒓𝒆𝒏𝒖𝒎𝒃𝒆𝒓𝒆𝒅 𝒉𝒆𝒓𝒆 𝒊𝒏 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒓 𝒕𝒐 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒚 𝒓𝒆𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒕𝒐 𝒕𝒉𝒆 𝒂𝒙𝒊𝒐𝒎𝒔.

⁴ 𝐼.𝒆., 𝒕𝒉𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒋𝒖𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝒇𝒐𝒓𝒎 𝒊𝒏 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒔 𝒐𝒇 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓𝒚 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒆𝒓𝒕𝒊𝒆𝒔ᵇ 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒊𝒏𝒔 𝒂 𝒎𝒆𝒎𝒃𝒆𝒓 𝒘𝒊𝒕𝒉𝒐𝒖𝒕 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏.