Loading DocumentDedução da identidade de Euler
Euler's identity deduction
William Nunes
Primeiro, vamos relembrar os polinômios de Maclaurin:
f(x)=n=0∑∞n!f(n)(0)xn
Onde f(n)(0)é a enésima derivada de f(x)avaliada para x=0.
Agora, vamos observar como a função seno e cosseno se comportam quando inseridos na série de Maclaurin. Para isso, vamos observar quais são as suas múltiplas derivadas.
f(θ)=sinθf′(θ)=cosθf′′(θ) −sinθf′′′(θ)=−cosθf′′′′(θ)=sinθ
f(θ)=cosθf′(θ)=−sinθf′′(θ)=−cosθf′′′(θ)=sinθf′′′′(θ)=cosθ
Dessa forma, notamos que as múltiplas derivadas das funções seno e cosseno são cíclicas, ou seja, de tempos em tempos voltam ao valor original.
Agora, inserindo a função seno nas séries de Maclaurin:
sinx=n=0∑∞n!(sinx)(n)xn=(sinx+xcosx−2!x2sinx−3!x3cosx+4!x4sinx + . . .)
Avaliando para x=0:
sinx=(x−3!x3+5!x5− . . . )
Fazendo o mesmo para a função cosseno:
cosx=n=0∑∞n!(cosx)(n)xn=(cosx−xsinx−2!x2cosx+3!x3sinx− . . . )
∴cosx=(1−2!x2+3!x3−5!x5+ . . . )
Continuando, vamos manipular função exponencial cuja base é o número de Euler (e) no contexto das séries de Maclaurin, da mesma forma que fizemos anteriormente: analisando o comportamento da função quando derivada e avaliada para x = 0.
Observe que:
dxdex=exlne=ex
Dessa forma, temos que a derivada singular de exé igual ao próprio ex.
Avaliando exe, consequentemente, todas as suas derivas, obtemos e0=1.
Aplicando nas séries:
ex=n=0∑∞n!exxn=(ex+exx+2!exx2+3!exx3+ . . . )
Avaliando para x=0:
ex=(1+x+2!x2+3!x3+4!x4+ . . . )
Agora vem a parte interessante! Ao substituirmos xpor iθ, sendo ia unidade imaginária, na equação acima, obtemos:
eiθ=(1+iθ+2!(iθ)2+3!(iθ)3+4!(iθ)4+ . . . )
Agora, para continuarmos, vamos explorar os valores que as potências da unidade imaginaria podem assumir:
i=√−1i2=−1i3=−i
i4=1i5=i. . .
Dessa forma, podemos desenvolver melhor a série de eiθ:
eiθ=(1+iθ+2!i2θ2+3!i3θ3+4!i4θ4+ . . . )=(1+iθ−2!θ2−3!iθ3+4θ4− . . .)
Agora, separando as parcelas que têm idas que não tem e colocando iem evidência, temos:
eiθ=(1−2!θ2+4!θ4−6!θ6+8!θ8− . . .)+i(θ−3!θ3+5!θ5−7!θ7+9!θ9− . . .)
Porém, é notável que, nessa igualdade, temos as séries das funções seno e cosseno observadas anteriormente:
eiθ=cosθ+isinθ
∴eiπ=1