Loading DocumentPertanyaan:
Sebuah aplikasi baru diluncurkan. Jumlah pengguna (dalam ribu orang) setelah x bulan peluncuran dimodelkan dengan fungsi J(x)=x+10500x+4.000. Berapakah jumlah pengguna aplikasi tersebut setelah 10 bulan peluncuran?
Penyelesaian:
J(10)=10+10500(10)+4.000
J(10)=205.000+4.000
J(10)=209.000
J(10)=450
Karena satuan dalam fungsi adalah ribu orang, maka:
450×1.000=450.000 pengguna.
Jawaban:
Jumlah pengguna aplikasi setelah 10 bulan adalah 450 ribu pengguna.
Pertanyaan:
Sebuah aplikasi baru diluncurkan. Jumlah pengguna (dalam ribu orang) setelah x bulan peluncuran dimodelkan dengan fungsi J(x)=x+10500x+4.000. Berapakah jumlah pengguna aplikasi tersebut setelah 10 bulan peluncuran?
Penyelesaian:
Substitusikan nilai x=10 ke dalam fungsi J(x):
J(10)=10+10500(10)+4.000
Hitung pembilang dan penyebut:
J(10)=205.000+4.000
J(10)=209.000
J(10)=450
Karena satuan dalam fungsi adalah ribu orang, maka:
450×1.000=450.000 pengguna.
Jawaban:
Jumlah pengguna aplikasi setelah 10 bulan adalah 450.000 pengguna.
Pertanyaan:
Nilai x→23πlimcosxcscx−sinx adalah ....
Penyelesaian:
x→23πlimcosxsinx1−sinx
x→23πlimcosxsinx1−sin2x=x→23πlimsinxcosx1−sin2x
x→23πlimsinxcosxcos2x=x→23πlimsinxcosx=x→23πlimcotx
cot(23π)=sin(270∘)cos(270∘)=−10=0
Jawaban:
Nilai dari limit tersebut adalah 0.
x→23πlimsinxcosxcos2x=x→23πlimsinxcosx=x→23πlimcotx
Substitusikan x=23π (270∘):
cot(23π)=sin(270∘)cos(270∘)=−10=0
Jawaban: Nilai dari limit tersebut adalah 0.
Soal 3 (Limit Menuju Tak Hingga)
Nilai x→∞limx+2−5 adalah ....
Untuk menyelesaikan limit fungsi tersebut, langkah pertama yang perlu dilakukan adalah membagi setiap suku pada pembilang dan penyebut dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu x. Proses ini bertujuan untuk menyederhanakan bentuk pecahan agar nilai limit dapat ditentukan dengan lebih mudah.
Berdasarkan langkah tersebut, kita mendapatkan bentuk:
x→∞lim1+x2−x5
Selanjutnya, kita melakukan substitusi nilai x→∞ ke dalam persamaan. Perlu diingat bahwa dalam aturan limit, setiap bilangan real yang dibagi dengan nilai tak hingga akan mendekati nol (∞k=0). Dengan menerapkan aturan ini, kita peroleh:
1+∞2−∞5=1+00
Setelah melakukan penyederhanaan lebih lanjut:
10=0
Dengan demikian, hasil akhir dari limit tersebut adalah 0. Maka, jawaban yang benar adalah C. 0.
Soal 4 (Limit Aljabar Pemfaktoran)
Nilai x→7lim3x−21x2−8x+7 adalah ....
Untuk menyelesaikan limit fungsi tersebut, langkah pertama yang perlu dilakukan adalah melakukan substitusi langsung terhadap nilai x=7 ke dalam fungsi 3x−21x2−8x+7. Hasil dari substitusi ini adalah:
3(7)−2172−8(7)+7=21−2149−56+7=00
Karena hasil substitusi menghasilkan bentuk tak tentu 00, maka kita perlu melakukan manipulasi aljabar dengan metode pemfaktoran untuk menyederhanakan fungsi tersebut.
Kita faktorkan masing-masing bagian dari pecahan tersebut:
Setelah difaktorkan, kita dapat menuliskan limitnya sebagai berikut:
x→7lim3(x−7)(x−7)(x−1)
Karena terdapat faktor yang sama yaitu (x−7) pada pembilang dan penyebut, kita dapat mencoret faktor tersebut (dengan asumsi x=7), sehingga fungsi menjadi lebih sederhana:
x→7lim3x−1
Setelah fungsi disederhanakan, kita dapat menentukan nilai limit dengan melakukan substitusi langsung x=7 ke dalam bentuk yang baru:
37−1=36=2
Jadi, nilai dari x→7lim3x−21x2−8x+7 adalah 2.
Jawaban yang benar: B. 2
Karena terdapat faktor yang sama yaitu (x−7) pada pembilang dan penyebut, kita dapat mencoret faktor tersebut (dengan asumsi x=7), sehingga fungsi menjadi lebih sederhana:
x→7lim3x−1
3. Substitusi Nilai Limit
Setelah fungsi disederhanakan, kita dapat menentukan nilai limit dengan melakukan substitusi langsung x=7 ke dalam bentuk yang baru:
37−1=36=2
Jadi, nilai dari x→7lim3x−21x2−8x+7 adalah 2.
Jawaban yang benar: B. 2
Nilai x→0limsin2xsin7x−sin3x adalah ....
1. Gunakan sifat pengurangan sinus:
sinA−sinB=2cos(2A+B)sin(2A−B)
Maka:
sin7x−sin3x=2cos(27x+3x)sin(27x−3x)
sin7x−sin3x=2cos(5x)sin(2x)
2. Substitusikan ke dalam limit:
x→0limsin2x2cos(5x)sin(2x)=x→0lim2cos(5x)
3. Substitusikan x=0:
2cos(5⋅0)=2cos(0)=2(1)=2
Jawaban yang benar: D. 2
Nilai x→0limsin2xsin7x−sin3x adalah ....
Penyelesaian:
sinA−sinB=2cos(2A+B)sin(2A−B)
Maka:
sin7x−sin3x=2cos(27x+3x)sin(27x−3x)
sin7x−sin3x=2cos(5x)sin(2x)
x→0limsin2x2cos(5x)sin(2x)=x→0lim2cos(5x)
2cos(5⋅0)=2cos(0)=2(1)=2
Jawaban yang benar: 2
Nilai x→−32lim3x2+5x+29x2−4 adalah ....
Penyelesaian:
x→−32lim(3x+2)(x+1)(3x−2)(3x+2)=x→−32lim 3x