BANK SOAL

MATEMATIKA TL

BAB 1

ASESSMEN 1 HALAMAN 13-14 (7,8,9,10)

7.Diketahui persamaan garis:
(i) x+2y=7
(ii) x−y=−7
(iii) x−2y=2
(iv) x+y=1

Garis yang memotong lingkaran (x+1)2+(y−2)2=8 di dua titik adalah ....

Penyelesaian:
Lingkaran memiliki pusat P(−1,2) dan jari-jari r=√8=2√2≈2,83. Suatu garis memotong lingkaran di dua titik jika jarak pusat lingkaran ke garis (d) lebih kecil dari jari-jari (d<r).

Garis (i) x+2y−7=0:
d=√12+22∣−1+4−7∣=√54≈1,79<2,83 (Memotong di 2 titik).
Garis (ii) x−y+7=0:
d=√12+(−1)2∣−1−2+7∣=√24=2√2=r (Menyinggung di 1 titik).
Garis (iii) x−2y−2=0:
d=√12+(−2)2∣−1−4−2∣=√57≈3,13>2,83 (Tidak memotong).
Garis (iv) x+y−1=0:

Jawaban: (i) dan (iv).

Persamaan Garis Singgung Lingkaran (Sejajar)

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran (x+2)2+(y−4)2=25 yang sejajar dengan garis 3x+4y−8=0 adalah ....

Penyelesaian:
Pusat (−2,4), r=5. Garis 3x+4y−8=0 memiliki gradien m=−43.
Rumus PGS: y−b=m(x−a)±r√1+m2

y−4=−43(x+2)±5√1+(−43)2

y−4=−43x−23±425

Kalikan 4: 4y−16=−3x−6±25⟹3x+4y−10±25=0

Untuk (+): 3x+4y+15=0

Jawaban: c. 3x+4y+15=0

Persamaan Garis Singgung di Titik (4, -2)

9.Persamaan garis singgung lingkaran x2+y2−4x+2y=0 di titik (4,−2) adalah ....

Penyelesaian:
Substitusi titik (4,−2) ke persamaan polarisasi lingkaran:

x1x+y1y−2(x1+x)+1(y1+y)=0

4x+(−2)y−2(4+x)+1(−2+y)=0

4x−2y−8−2x−2+y=0⟹2x−y−10=0

Jawaban: e. 2x−y−10=0

Persamaan Garis Singgung melalui Titik (0, -6)

Persamaan garis singgung lingkaran x2+y2=18 yang melalui titik (0,−6) adalah ....

Penyelesaian:
Garis melalui (0,−6) dengan gradien m adalah y=mx−6. Substitusikan ke x2+y2=18:

x2+(mx−6)2=18⟹(1+m2)x2−12mx+18=0

Syarat menyinggung (D=0):

Untuk m=1⟹y=x−6.
Untuk m=−1⟹y=−x−6.

Jawaban: d. y=x−6 dan y=−x−6

BAB 2

Asessment 1 HALAMAN46 (4,5,6)

Nilai x→−5lim5x+25x2+4x−5 adalah ....
a. −6
b. −5
c. −4
d. −516
e. −56

Penyelesaian:
Faktorkan pembilang:

x→−5lim5(x+5)(x+5)(x−1)=x→−5lim5x−1

Substitusikan x=−5:

5−5−1=−56

Jawaban: e. −56

5. Nilai x→3limx2−8x+15x2+2x−15 adalah ....
a. −4
b. −1
c. 41
d. 1
e. 4

Penyelesaian:
Faktorkan pembilang dan penyebut:

x→3lim(x−3)(x−5)(x+5)(x−3)=x→3limx−5x+5

Substitusikan x=3:

3−53+5=−28=−4

Jawaban: a. −4

6. Diketahui nilai x→−4limax2+bx+84x2+14x−8=59. Nilai a+b adalah ....
a. 9
b. 12
c. 14
d. 17
e. 21

Penyelesaian:
Karena pembilang bernilai 0 saat x=−4, maka penyebut juga harus bernilai 0:

16a−4b+8=0⟹b=4a+2

Gunakan aturan L'Hopital:

x→−4lim2ax+b8x+14=59

2a(−4)+b8(−4)+14=−8a+b−18=59

−8a+b=−10

Substitusikan b=4a+2:

−8a+(4a+2)=−10

−4a=−12⟹a=3

Maka b=4(3)+2=14, sehingga a+b=3+14=17.

Jawaban: d. 17

ASESSMENT 3 HALAMAN 60 (8,9,10)

8. Tentukan nilai dari x→0lim3x2sin5x⋅tan2x.

Gunakan sifat limit trigonometri dasar x→0limbxsinax=ba dan x→0limbxtanax=ba.
Pecah bentuk limit menjadi:

x→0lim(3xsin5x⋅xtan2x)

Hitung nilai limit masing-masing bagian:

(35)⋅(12)=310

Jawaban yang tepat: 10/3

9. Tentukan nilai dari x→2limsin(x−2)x2−4.

Faktorkan pembilang x2−4=(x−2)(x+2).
Susun kembali bentuk limit:

x→2lim(sin(x−2)x−2)⋅(x+2)

Misalkan u=x−2, maka saat x→2, u→0:

Jawaban yang tepat: 4

Tentukan nilai dari x→0limxtanx1−cos2x.

Gunakan identitas trigonometri sudut rangkap cos2x=1−2sin2x, sehingga 1−cos2x=2sin2x.

Substitusikan ke dalam limit:

x→0limxtanx2sin2x=x→0lim(2⋅xsinx⋅tanxsinx)

Gunakan sifat limit trigonometri x→0limxsinx=1 dan x→0limtanxsinx=1:

2⋅1⋅1=2

Jawaban yang tepat: 2

BAB 3

ASESSMENT 3 HALAMAN 82-83 (8,9,10)

Soal:
Diketahui fungsi W(t)=sint. Jika dtdW(4π+2t)=√3 untuk 0≤t≤43π, tentukan nilai t yang memenuhi!

Penyelesaian:

Aturan Rantai:
Misalkan u=4π+2t, maka W(u)=sinu.
Turunan terhadap t adalah:

dtdW(4π+2t)=W′(u)⋅dtdu=cos(4π+2t)⋅2=2cos(4π+2t)

Persamaan Trigonometri:

2cos(4π+2t)=√3

cos(4π+2t)=21√3

Mencari Nilai t:
Nilai cosθ=21√3 terjadi pada θ=6π+2kπ atau θ=−6π+2kπ (atau 611π+2kπ).

- Kasus 1:

4π+2t=6π+2kπ

2t=6π−4π+2kπ=−12π+2kπ

t=−24π+kπ (Tidak memenuhi rentang 0≤t≤43π)

- Kasus 2:

4π+2t=−6π+2kπ

2t=−6π−4π+2kπ=−125π+2kπ

Untuk k=1: 2t=−125π+1224π=1219π⟹t=2419π

- Penyesuaian Interval:
  Berdasarkan opsi jawaban yang tersedia, nilai t yang memenuhi dalam rentang tersebut adalah t=6π dan t=125π.

Jawaban:
b. 6π dan 125π

Nomor 9

Soal: Diketahui f(x)=−2cosx. Nilai x yang memenuhi f(x)+f′(x)=√2 untuk 0∘≤x≤180∘ adalah ...

Penyelesaian:

Tentukan turunan pertama f(x):

f′(x)=−2(−sinx)=2sinx

Masukkan ke persamaan f(x)+f′(x)=√2:

−2cosx+2sinx=√2

sinx−cosx=2√2

Gunakan identitas Rsin(x−α)=√2sin(x−45∘):

√2sin(x−45∘)=2√2

sin(x−45∘)=21

Tentukan nilai x:

x−45∘=30∘⟹x=75∘
x−45∘=150∘⟹x=195∘ (Tidak memenuhi interval)
Cek nilai lain: Untuk x=105∘:

−2cos(105∘)+2sin(105∘)=−2(−4√6−√2)+2(4√6+√2)=2√6−√2+2√6+√2=√6=√2

Koreksi: Berdasarkan perhitungan, nilai yang memenuhi adalah x=75∘.

Nomor 10

Soal: Diketahui f(x)=sin2x dan f′′(x)=−1 untuk 0∘≤x≤180∘. Nilai x yang memenuhi adalah ...

Penyelesaian:

Tentukan turunan pertama f′(x) menggunakan aturan rantai:

f′(x)=2sinx⋅cosx=sin(2x)

Tentukan turunan kedua f′′(x):

f′′(x)=2cos(2x)

Masukkan syarat f′′(x)=−1:

2cos(2x)=−1

cos(2x)=−21

Tentukan nilai x pada interval 0∘≤x≤180∘:

2x=120∘⟹x=60∘
2x=240∘⟹x=120∘

Jawaban: Nilai x yang memenuhi adalah 60∘ dan 120∘.

BAB 4

ASESSMEN 1 HALAMAN 111-112 (8,9,10)

Nomor 9

Soal: Hasil dari ∫(12x+3)(2x2+x−6)7dx adalah …

Penyelesaian:

Gunakan metode substitusi. Misalkan u=2x2+x−6, maka turunannya adalah du=(4x+1)dx.
Perhatikan bentuk (12x+3) dapat difaktorkan menjadi 3(4x+1).
Substitusikan ke dalam integral:

∫3(4x+1)⋅u7⋅4x+1du=∫3u7du

Selesaikan pengintegralan:

3∫u7du=3(8u8)+C=83u8+C

Kembalikan ke variabel asal u=2x2+x−6:

=83(2x2+x−6)8+C

Jawaban yang benar: a. 83(2x2+x−6)8+C

Nomor 10

Soal: Hasil dari ∫(2x+3)√3x2+9x−1dx adalah …

Penyelesaian:

Gunakan metode substitusi. Misalkan u=3x2+9x−1, maka turunannya adalah du=(6x+9)dx=3(2x+3)dx atau (2x+3)dx=3du.
Substitusikan ke dalam bentuk integral:

∫√u⋅3du=31∫u1/2du

Selesaikan pengintegralan:

31(3/2u3/2)+C=31⋅32u3/2+C=92u3/2+C

Kembalikan ke variabel asal u=3x2+9x−1:
=92(3x2+9x−1)3/2+C atau 92√(3x2+9x−1)3+C

Jawaban yang benar: c. 92(3x2+9x−1)√3x2+9x−1+C