Loading DocumentUNIVERSIDAD AUTONOMA DEL ESTADO DE MÈXICO FACULTAD DE QUIMICA INGENIERO QUIMICO PETROLERO PERIODO 2025 A U. A: Calculo Diferencial e Integral PROYECTO FINAL Considerando un cuerpo solido con un volumen máximo de un litro FIGURA: CONO
Integrantes
Angel Zynnai Almazán Martínez
Emilio Vázquez Hernández
Eunice Jeriel Velazco Navarro
Iris Alondra Salgado Lagunas
a) Encontrar las dimensiones mínimas requeridas de la figura b) Determinar las ecuaciones del área y volumen de la figura propuesta c) Obtener la gráfica de la ecuación (2D Y 3D) d) Calcular la superficie e) Calcular área y volumen utilizando integrales f) Calcular el centro de masa considerando la densidad constante g) Elaborar la figura correspondiente con un material adecuado FIGURA
CONO CIRCULAR
a) Encontrar las dimensiones mínimas requeridas de la figura
V=31πr2hA=πr√r2+h2
La fórmula del área será la anterior, sin sumar el área de la base, el cono sera sin la tapa.
Se despeja la altura, para sustituirla en la fórmula del área y tenerla en función del radio.
h=πr23V
A(r)=πr√r2+(πr23V)2
Derivar A(r) para encontrar mínimos y maximos.
Simplificar el término dentro de la raíz cuadrada
(πr23V)2=π2r49V2
Sustituir de nuevo en la expresión de A(r):
A(r)=πr√r2+π2r49V2
Combinar los términos dentro de la raíz cuadrada con un denominador común:
r2+π2r49V2=π2r4r2(π2r4)+π2r49V2=π2r4π2r6+9V2
Sustituir y simplificar la raíz:
A(r)=πr√π2r4π2r6+9V2
A(r)=πr√π2r4√π2r6+9V2
A(r)=πrπr2√π2r6+9V2
A(r)=r√π2r6+9V2
A(r)=r√π2r6+9V2
Sea u=√π2r6+9V2=(π2r6+9V2)1/2 y v=r.
Primero, calculamos la derivada de u con respecto a r (u′):
u′=21(π2r6+9V2)−1/2⋅drd(π2r6+9V2)
u′=21(π2r6+9V2)−1/2⋅(6π2r5)
u′=√π2r6+9V23π2r5
Luego, calculamos la derivada de v con respecto a r (v′):
v′=drd(r)=1
drdA=r2(√π2r6+9V23π2r5)⋅r−(√π2r6+9V2)⋅1
Numerador=√π2r6+9V23π2r6−√π2r6+9V2
=√π2r6+9V23π2r6−√π2r6+9V2(√π2r6+9V2)(√π2r6+9V2)
=√π2r6+9V23π2r6−(π2r6+9V2)
=√π2r6+9V23π2r6−π2r6−9V2
=√π2r6+9V22π2r6−9V2
drdA=r2√π2r6+9V22π2r6−9V2
Simplificamos la expresión:
drdA=r2√π2r6+9V22π2r6−9V2
Por lo tanto, igualamos el numerador a cero:
2π2r6−9V2=0
Despejamos r6:
2π2r6=9V2
r6=2π29V2
√2π29V2=√2π2√9V2=π√23∣V∣
r3=π√23V
Para despejar r, tomamos la raíz cúbica de ambos lados:
r=(π√23V)1/3
Sustituimos V=1000 cm3:
r=(π√23×1000)1/3
r=(π√23000)1/3
π√2≈3.14159×1.41421≈4.44288
r=(4.442883000)1/3
r≈8.775 cm
2. Cálculo de h:
h=πr23V
Sustituimos V=1000 cm3 y el valor calculado de r≈8.775 cm:
h=π(8.775)23×1000
h=241.9993000
h≈12.404 cm
Resultados:
b) Determinar las ecuaciones del área y volumen de la figura propuesta
d) Calcular la superficie
Calculo del Volumen (V):
Verificamos el volumen con los valores de r y h:
V=31π(8.775)2(12.404)
V=31π(76.999)(12.404)
V=31π(955.087)
V≈31(3.14159)(955.087)
V≈31(3000.00)
V≈1000 cm3
AT=πr√r2+h2
AT=π(8.775)√8.7752+12.4042
AT≈418.86 cm2
Resultados Finales:
c) Obtener la gráfica de la ecuación (2D Y 3D)
Mediante el método disco
a) Gráfica 2D:
La ecuación que genera el cono es una línea recta en el plano 2D.
Si el cono se forma rotando alrededor del eje x, la gráfica 2D es la línea 12.4048.775x en el primer cuadrante, desde x=0 hasta x=12.404
b) Gráfica 3D:
Al rotar la línea y=12.4048.775x alrededor del eje x, se forma un cono tridimensional
(Método disco) 2D
GeoGebra 3D
e) Calcular área y volumen utilizando integrales
1. Ecuación de la línea generatriz del cono
Un cono con vértice en el origen (0,0), altura h a lo largo del eje x, y radio r en x=h, se genera al rotar la línea recta y=f(x) alrededor del eje x.
La ecuación de esta línea pasa por el origen (0,0) y el punto (h,r).
Por lo tanto, la pendiente es m=hr.
La ecuación de la línea es y=hrx.
Utilizando los valores proporcionados:
r≈8.775 cm
h≈12.404 cm
La ecuación de la línea generatriz es:
y=12.4048.775x
y≈0.7074x
2. Cálculo del Volumen (V) utilizando el Método de Discos
El volumen de un sólido de revolución generado al rotar una función f(x) alrededor del eje x desde x=a hasta x=b se calcula mediante la integral:
V=∫abπ[f(x)]2dx
En nuestro caso, f(x)=hrx, y los límites de integración son desde x=0 (vértice) hasta x=h (base).
V=∫0hπ(hrx)2dx
V=π∫0hh2r2x2dx
V=h2πr2∫0hx2dx
V=h2πr2[3x3]0h
V=h2πr2(3h3−303)
V=h2πr23h3
V=31πr2h
Sustituyendo los valores de r y h:
V=31π(8.775)2(12.404)
V≈1000 cm3
3. Cálculo de la Superficie (Área Lateral y Área Total) utilizando Integrales
a) Área Lateral (AL)
El área de la superficie lateral de un sólido de revolución generado al rotar una función f(x) alrededor del eje x desde x=a hasta x=b se calcula mediante la integral:
AL=∫ab2πf(x)√1+[f′(x)]2dx
Primero, encontramos la derivada de f(x)=hrx:
f′(x)=hr
Ahora, calculamos √1+[f′(x)]2:
√1+(hr)2=√1+h2r2=√h2h2+r2=h√h2+r2
Recordemos que la generatriz (o slant height) l de un cono es l=√r2+h2.
Entonces, √1+[f′(x)]2=hl.
Sustituyendo en la integral del área lateral:
AL=∫0h2π(hrx)(hl)dx
AL=2πh2rl∫0hxdx
AL=2πh2rl[2x2]0h
AL=2πh2rl(2h2−202)
AL=2πh2rl2h2
AL=πrl
Primero, calculamos la generatriz l:
l=√r2+h2=√(8.775)2+(12.404)2
l=√230.8582785
l≈15.19395 cm (aproximadamente 15.194 cm como se indicó).
Ahora, sustituimos los valores en la fórmula del área lateral:
AL=π(8.775)(15.19395)
AL≈(3.14159265)(133.33305)
AL≈418.879 cm2
Resultados Finales (utilizando integrales):
f) Calcular el centro de masa considerando la densidad constante
1. Definición del Cono y Simetría
Debido a la simetría del cono alrededor del eje x, las coordenadas yˉ del centro de masa serán cero. Solo necesitamos calcular la coordenada xˉ.
El centro de masa (xˉ,yˉ) se calcula como:
xˉ=MMx
yˉ=MMy=0
2. Cálculo de la Masa (M)
La masa se calcula como la densidad por el volumen: M=ρV.
El volumen V de un sólido de revolución alrededor del eje x se obtiene integrando el área de las secciones transversales circulares:
V=∫0hA(x)dx
Donde A(x)=π[f(x)]2=π(hRx)2=πh2R2x2.
M=ρ∫0hπh2R2x2dx
M=ρπh2R2∫0hx2dx
M=ρπh2R2[3x3]0h
M=ρπh2R2(3h3−0)
M=ρ31πR2h
3. Cálculo del Momento (Mx)
El momento Mx se calcula integrando x⋅dM, donde dM=ρA(x)dx:
Mx=∫0hx⋅ρ⋅A(x)dx
Mx=∫0hx⋅ρ⋅πh2R2x2dx
Mx=ρπh2R2∫0hx3dx
Mx=ρπh2R2[4x4]0h
Mx=ρπh2R2(4h4−0)
Mx=ρ41πR2h2
4. Cálculo de la Coordenada xˉ
xˉ=MMx=ρ31πR2hρ41πR2h2
xˉ=3141h
xˉ=43h
5. Sustitución de Valores Numéricos
Dado que la altura del cono es h=12.404 cm:
xˉ=43×12.404 cm
xˉ=0.75×12.404 cm
xˉ=9.303 cm
6. Centro de Masa Final
El centro de masa del cono, considerando densidad constante y con el vértice en el origen y el eje a lo largo del eje x, es:
(xˉ,yˉ)=(9.303,0)
Centro de masa