suites numériques

Exercice 1

Étape 1 : Montrer que (∀n∈N)Un>31

Nous allons utiliser la récurrence.

initialisation : Pour n=0, U0=1>31. Donc, la propriété est vraie pour n=0.
Hypothèse de récurrence: Supposons que Un>31 pour un certain n∈N.
Étape inductive: Montrons que Un+1>31.

Un+1=1+15Un6Un

Comme Un>31, alors 6Un>2 et 15Un>5. Donc, 1+15Un>6.

Un+1−31=1+15Un6Un−31=3(1+15Un)18Un−1−15Un=3(1+15Un)3Un−1

Puisque Un>31, alors 3Un>1, donc 3Un−1>0. De plus, 3(1+15Un)>0. Par conséquent, Un+1−31>0, ce qui implique Un+1>31.

Par le principe de récurrence, (∀n∈N)Un>31.

Étape 2 : Étudier la monotonie de (Un)n et en déduire que (∀n∈N)Un≤1

Considérons la différence Un+1−Un:

Un+1−Un=1+15Un6Un−Un=1+15Un6Un−Un−15Un2=1+15Un5Un−15Un2=1+15Un5Un(1−3Un)

Puisque Un>31, alors 3Un>1, donc 1−3Un<0. De plus, Un>0 et 1+15Un>0. Par conséquent, Un+1−Un<0, ce qui signifie que la suite (Un)n est strictement décroissante.

Comme la suite est décroissante et U0=1, alors (∀n∈N)Un≤1.

Étape 3 : Montrer que (∀n∈N)Un+1−31≤61(Un−31) et en déduire que (∀n∈N)Un−31≤32(61)n

Nous avons déjà montré que Un+1−31=3(1+15Un)3Un−1. Nous voulons montrer que Un+1−31≤61(Un−31).

3(1+15Un)3Un−1≤61(Un−31)=61(33Un−1)=183Un−1

Nous devons montrer que 3(1+15Un)3Un−1≤183Un−1. Puisque Un>31, alors 3Un−1>0. Nous pouvons diviser les deux côtés par 3Un−1 sans changer le signe de l'inégalité:

3(1+15Un)1≤181

18≤3(1+15Un)

6≤1+15Un

5≤15Un

31≤Un

Ceci est vrai car nous avons montré que Un>31. Donc, Un+1−31≤61(Un−31).

Maintenant, montrons que (∀n∈N)Un−31≤32(61)n par récurrence.

Base case: Pour n=0, U0−31=1−31=32. Et 32(61)0=32. Donc, U0−31≤32(61)0.
Hypothèse de récurrence: Supposons que Un−31≤32(61)n pour un certain n∈N.
Étape inductive: Montrons que Un+1−31≤32(61)n+1.

Nous savons que Un+1−31≤61(Un−31). En utilisant l'hypothèse de récurrence:

Un+1−31≤61(Un−31)≤61⋅32(61)n=32(61)n+1

Par le principe de récurrence, (∀n∈N)Un−31≤32(61)n.

Étape 4 : On pose Vn=1−3Un1 pour tout entier naturel n

a) Montrer que (Vn)n est une suite géométrique de raison 61

Vn+1=1−3Un+11=1−18Un1+15Un=1−18Un1−18Un15Un=1−18Un1−65=61−18Un1=61(1−3Un1)=61Vn

Donc, (Vn)n est une suite géométrique de raison q=61.

b) Calculer Vn puis Un en fonction de n

V0=1−3U01=1−3(1)1=1−31=32.

Comme (Vn)n est une suite géométrique de raison 61, alors Vn=V0⋅(61)n=32(61)n.

Maintenant, exprimons Un en fonction de n:

Vn=1−3Un1

32(61)n=1−3Un1

3Un1=1−32(61)n

Un1=3−2(61)n

Un=3−2(61)n1

c) On pose Sn=k=0∑k=nVk et Tn=k=0∑k=nUk1 déterminer Sn en fonction de n et en déduire que Tn=3n+53+512(61)n+1

Sn=k=0∑nVk=k=0∑n32(61)k=32k=0∑n(61)k=32⋅1−611−(61)n+1=32⋅651−(61)n+1=32⋅56(1−(61)n+1)=54(1−(61)n+1)

Tn=k=0∑nUk1=k=0∑n(3−2(61)k)=k=0∑n3−2k=0∑n(61)k=3(n+1)−2⋅1−611−(61)n+1=3n+3−2⋅651−(61)n+1=3n+3−512(1−(61)n+1)=3n+3−512+512(61)n+1=3n+53+512(61)n+1

Exercice 2

Étape 1 : Calculer U0,U2 et V0

Nous avons U1=5 et Un+1=3Un+4n.

Pour trouver U0, nous utilisons la relation de récurrence avec n=0:

U1=3U0+40

5=3U0+1

3U0=4

U0=34

Pour trouver U2, nous utilisons la relation de récurrence avec n=1:

U2=3U1+41=3(5)+4=15+4=19

Nous avons Vn=4Un−Un+1. Donc, V0=4U0−U1=4(34)−5=316−315=31

Étape 2 : Montrer que (Vn)n est géométrique de raison q=3 et calculer Vn en fonction de n

Vn=4Un−Un+1 et Un+1=3Un+4n.

Vn+1=4Un+1−Un+2=4Un+1−(3Un+1+4n+1)=Un+1−4n+1=(3Un+4n)−4n+1=3Un+4n−4⋅4n=3Un−3⋅4n=3(Un−4n).

Nous savons que Vn=4Un−Un+1=4Un−(3Un+4n)=Un−4n. Donc, Vn+1=3(Un−4n)=3Vn.

Donc, (Vn)n est une suite géométrique de raison q=3.

V0=31. Donc, Vn=V0⋅qn=31⋅3n=3n−1.

Étape 3 : On pose Tn=k=0∑k=nVk et Sn=k=0∑k=nUk

a) Déterminer Tn en fonction de n

Tn=k=0∑nVk=k=0∑n3k−1=k=0∑n31⋅3k=31k=0∑n3k=31⋅1−31−3n+1=31⋅−21−3n+1=61(3n+1−1)

b) Montrer que Vn=Un−4n et en déduire que Un=4n+3n−1

Nous avons déjà montré que Vn=Un−4n. Donc, Un=Vn+4n=3n−1+4n.

c) Montrer que Tn−3Sn=U0−Un+1 puis déterminer Sn en fonction de n

Vn=4Un−Un+1. Donc, k=0∑nVk=k=0∑n(4Uk−Uk+1)=4k=0∑nUk−k=0∑nUk+1=4Sn−(U1+U2+...+Un+1)=4Sn−(Sn−U0+Un+1)=4Sn−Sn+U0−Un+1=3Sn+U0−Un+1.

Donc, Tn=3Sn+U0−Un+1. Par conséquent, Tn−3Sn=U0−Un+1.

3Sn=Tn−U0+Un+1=61(3n+1−1)−34+4n+1+3n=613n+1−61−68+4n+1+3n=213n−23+4n+1+3n=233n−23+4n+1=23(3n−1)+4n+1.

Sn=31(23(3n−1)+4n+1)=21(3n−1)+314n+1=213n−21+344n=213n+344n−21.

Exercice 3

Étape 1 : On considère la suite (Un)n telle que U0=0;U1=1 et Un+2=61Un+1+61Un On pose Vn=Un+1−21Un et Wn=Un+1+31Un

a) Montrer que (Vn)n, est géométrique et calculer Vn en fonction de n

Vn=Un+1−21Un

Vn+1=Un+2−21Un+1=61Un+1+61Un−21Un+1=−31Un+1+61Un=−31(Un+1−21Un)=−31Vn

Donc, (Vn)n est une suite géométrique de raison q=−31.

V0=U1−21U0=1−21(0)=1. Donc, Vn=V0⋅qn=1⋅(−31)n=(−31)n.

b) Montrer que (Wn)n est géométrique et calculer Wn en fonction de n

Wn=Un+1+31Un

Wn+1=Un+2+31Un+1=61Un+1+61Un+31Un+1=21Un+1+61Un=21(Un+1+31Un)=21Wn

Donc, (Wn)n est une suite géométrique de raison q=21.

W0=U1+31U0=1+31(0)=1. Donc, Wn=W0⋅qn=1⋅(21)n=(21)n.

Étape 2 : on pose Sn=k=0∑k=nWk et Tn=k=0∑k=nUk

a) Calculer Sn en fonction de n et déterminer Un en fonction de n

Sn=k=0∑nWk=k=0∑n(21)k=1−211−(21)n+1=211−(21)n+1=2(1−(21)n+1)

Nous avons Vn=Un+1−21Un et Wn=Un+1+31Un.

Wn−Vn=65Un. Donc, Un=56(Wn−Vn)=56((21)n−(−31)n).

c) Prouver que Tn=23−103(−31)n−56(21)n

Tn=k=0∑nUk=k=0∑n56((21)k−(−31)k)=56k=0∑n(21)k−56k=0∑n(−31)k=56⋅1−211−(21)n+1−56⋅1−(−31)1−(−31)n+1=56⋅211−(21)n+1−56⋅341−(−31)n+1=512(1−(21)n+1)−56⋅43(1−(−31)n+1)=512−512(21)n+1−109+109(−31)n+1=1024−109−512(21)n+1+109(−31)n+1=1015−512(21)n+1+109(−31)n+1=23−56(21)n+103(−31)n

M. Salhi.