Szescienne

F(x)=(x−a)(x−b)(x−c)

F′(x)=(x−a)(x−b)+(x−a)(x−c)+(x−a)(x−b)

xn =x−F′(x)F(x)=x−(x−a)(x−b)+(x−a)(x−c)+(x−b)(x−c)(x−a)(x−b)(x−c)

Let x=a+ϵ

xn=a+ϵ−ϵ(ϵ+a−b)+ϵ(ϵ+a−c)+(ϵ+a−b)(ϵ+a−c)ϵ(ϵ+a−b)(ϵ+a−c)

Case1: a=b=c

xn=a+ε−3ϵ2ϵ3=a+32ϵ

Case2: a=b

xn=a+ϵ−ϵ2+2ϵ(ϵ+a−c)ϵ2+ϵ(a−c)=a+ϵ−3ϵ2+2ϵ(a−c)ϵ2+ϵ(a−c)≈a+2ϵ

Case3:

xn=a+ϵ−ϵ(ϵ+a−b)+ϵ(ϵ+a−c)+(ϵ+a−b)(ϵ+a−c)ϵ(ϵ+a−b)(ϵ+a−c)+ϵ2(ϵ+a−b)+ϵ2(ϵ+a−c)−ϵ2(ϵ+a−b)−ϵ2(ϵ+a−c)

xn=a−3ϵ2+4aϵ−2bϵ−2cϵ+(a−b)(a−c)ϵ2(2ϵ+2a−b−c)≈a−(a−b)(a−c))(2a−b−c)ϵ2